Üçgende Ağırlık Merkezi ve Orta Taban ile Uzunluk Hesabı

Çözüm adımları

1. ABD üçgeninde |BE| = |ED| olduğundan [AE] kenarortaydır; ayrıca |AF| = |FD| olduğundan [BF] de kenarortaydır. Kenarortayların kesim noktası olan K noktası, ABD üçgeninin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi kenarortayı tabana 1, köşeye 2 birim oranında böler. |FK| = 3 br ise |BK| = 2 · |FK| = 6 br olur. |EK| = 4 br ise |AK| = 2 · |EK| = 8 br ve dolayısıyla |AE| = |AK| + |EK| = 12 br olur. Soruda verilen |CD| = 2|EB| = 2|ED| eşitliğinden |BD| = |BE| + |ED| = 2|ED| elde edilir; yani |BD| = |CD| olur ve D noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. E ile F noktalarını birleştirirsek, ABD üçgeninde E ve F orta noktalar olduğundan [EF] orta tabandır ve [AB]'ye paraleldir. Ancak AC uzunluğunu bulmak için E ve D noktalarının konumuna bakalım: |BE| = k, |ED| = k ve |DC| = 2k'dır. Buna göre |BD| = 2k ve |DC| = 2k olduğundan D noktası [BC]'nin orta noktasıdır. AKF dik üçgeninde [AE] ⊥ [BF] olduğundan Pisagor teoreminden |AF|² = |AK|² + |FK|² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73 bulunur; buradan |AF| = √73 ve |AD| = 2√73 olur (bu bilgiye gerek kalmadan orta taban kullanalım). BKE dik üçgeninde Pisagor teoreminden |BE|² = |BK|² + |EK|² = 6² + 4² = 52 bulunur. Daha pratik bir yol olarak; D noktasından [BF]'ye paralel bir doğru çizip [AE] uzantısını kesmesini sağlayabiliriz veya [EF] orta tabanını kullanabiliriz. Aslında F noktası [AD]'nin, D noktası ise [BC]'nin orta noktasıdır. D noktasından [AE]'ye paralel bir [DH] doğru parçası ([AC] üzerinde H noktası) çizersek; E, D, C oranlarından faydalanabiliriz. Alternatif olarak koordinat sistemi kuralım: K orijin (0,0), AE doğrusu y-ekseni, BF doğrusu x-ekseni olsun. Bu durumda K(0,0), A(0,8), E(0,-4), B(-6,0), F(3,0) olur. E noktası B ile D'nin orta noktası olduğundan: D = 2E - B = 2(0,-4) - (-6,0) = (6,-8) bulunur. Kontrol edelim: F, A ile D'nin orta noktası mı? (A+D)/2 = (0+6, 8-8)/2 = (3,0) = F. Evet, sağlar. D noktası B ile C'nin orta noktası olduğundan (|BD| = 2|ED| = |CD|): C = 2D - B = 2(6,-8) - (-6,0) = (12,-16) - (-6,0) = (18,-16) bulunur. Bize |AC| uzunluğu sorulmaktadır. A(0,8) ve C(18,-16) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım: |AC| = √[(18 - 0)² + (-16 - 8)²] = √[18² + (-24)²] 18 = 6 · 3 ve 24 = 6 · 4 olduğundan, bu 3-4-5 üçgeninin 6 katıdır; yani hipotenüs 6 · 5 = 30 birimdir. Geometrik görme yolu: BKC üçgeninde ya da paralel çekerek; B'den geçen ve AE'ye paralel bir doğru veya E'den BF'ye paralel çizildiğinde 18-24-30 dik üçgeni oluşur. Cevap: 30

   Bu adımı detaylandır