Üçgende Kenarortay, Ağırlık Merkezi ve Orta Taban Sorusu

Çözüm adımları

1. ABD üçgenini inceleyelim. [AE] doğru parçası [BD] kenarını |EB| = |ED| olacak şekilde, [BF] doğru parçası ise [AD] kenarını |AF| = |FD| olacak şekilde iki eş parçaya bölmüştür. Bu durumda [AE] ve [BF], ABD üçgeninin kenarortaylarıdır ve kesişim noktaları olan K noktası ABD üçgeninin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi kenarortayı tabana 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde (1:2 oranında) böler. |FK| = 3 br olduğundan |BK| = 2 · |FK| = 2 · 3 = 6 br olur. Buradan |BF| = |BK| + |FK| = 6 + 3 = 9 br bulunur. Soruda |CD| = 2|EB| = 2|ED| verilmiştir. |EB| = |ED| = m dersek, |BD| = 2m ve |CD| = 2m olur. Böylece |BD| = |CD| olduğu görülür, yani D noktası [BC] kenarının orta noktasıdır. Aynı zamanda |AF| = |FD| olduğundan F noktası da [AD] doğru parçasının orta noktasıdır. BCD üçgenine baktığımızda (veya B noktasından AC'ye paralel değil, ADC üçgeninde veya BFC'de); D noktası [BC]'nin, F noktası [AD]'nin orta noktası olduğundan, [FD] doğru parçası değil, B, D, C doğrusal olduğu için ADC üçgeninde F orta nokta, D orta nokta... Dikkat edersek B-E-D-C doğrusaldır. ABC üçgeninde D noktası [BC]'nin orta noktası, ABD üçgeninde F noktası [AD]'nin orta noktasıdır. Bu durum doğrudan orta taban vermez, bu yüzden D noktasından [BF]'ye bir paralel çizelim veya E noktasından faydalanım. Daha pratik bir yol olarak: K noktası ABD'nin ağırlık merkezi olduğundan |AK| = 2 · |EK| = 2 · 4 = 8 br olur. Böylece |AE| = 8 + 4 = 12 br'dir. AKE dik üçgeninde (∠AKE = 90°): |AK| = 8 br ve |FK| = 3 br olduğundan Pisagor bağıntısıyla |AF| = √(8² + 3²) = √73 bulunur, bu yol karmaşıktır. Şekildeki diklikten yararlanarak orta taban oluşturalım: D noktasından [AE]'ye paralel bir doğru çizip [BC] veya [AC] üzerindeki uzantısına bakalım. Bunun yerine ADC üçgeninde F noktası [AD]'nin orta noktasıdır. F noktasından [DC]'ye değil, D noktasından [BF]'ye paralel çizersek; D noktası [BC]'nin orta noktası olduğundan, [BF] // [DH] (H ∈ [AC]) çizildiğinde [DH] orta taban olur? Hayır, B-F-C üçgeni yoktur, F noktası [AD] üzerindedir. Doğru orta taban: BDC doğrusal ve |BD| = |DC|, ayrıca |AF| = |FD|. C noktasından [BF]'ye paralel değil, D noktasından [AC]'ye paralel çizersek veya F'den yararlanırsak: En net yöntem: [AE] kenarortay olduğu için E noktası [BD]'nin orta noktasıdır. |EB| = m, |ED| = m, |DC| = 2m. AKE, BKE dik üçgenlerinden: BKE dik üçgeninde |BK| = 6 br, |EK| = 4 br ise Pisagor'dan m = |BE| = √(6² + 4²) = √52 bulunur. Kosinüs teoremi veya kenarortay teoremi yerine koordinat sistemi kuralım: K noktasını orijin (0,0) seçelim. [AE] doğrusu y-ekseni, [BF] doğrusu x-ekseni olsun. K(0,0) ise: A noktası y-ekseni üzerinde: |AK| = 8 olduğundan A(0, 8). E noktası y-ekseni üzerinde: |EK| = 4 olduğundan E(0, -4). F noktası x-ekseni üzerinde: |FK| = 3 olduğundan F(3, 0). B noktası x-ekseni üzerinde: |BK| = 6 olduğundan B(-6, 0). Kontrol edelim: E noktası B(-6,0) ile D noktasının orta noktasıdır. E(0,-4) = (B + D)/2 ⇒ D = 2E - B = (0, -8) - (-6, 0) = (6, -8). F noktası A(0,8) ile D(6,-8) noktalarının orta noktası mıdır? (A + D)/2 = (0+6, 8-8)/2 = (3, 0) = F. Tam olarak sağladı! Şimdi C noktasının koordinatlarını bulalım: D(6, -8) noktası, B(-6, 0) ile C noktasının orta noktasıdır (çünkü |BD| = 2m ve |CD| = 2m). D = (B + C)/2 ⇒ C = 2D - B = 2(6, -8) - (-6, 0) = (12, -16) - (-6, 0) = (18, -16). Bizden |AC| uzunluğu isteniyor. A(0, 8) ve C(18, -16) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım: |AC| = √[(18 - 0)² + (-16 - 8)²] |AC| = √[18² + (-24)²] 18 = 6 · 3 ve 24 = 6 · 4 olduğundan, bu 3-4-5 özel dik üçgeninin 6 katıdır (18-24-30 üçgeni). Buradan |AC| = 6 · 5 = 30 birim bulunur. Cevap: 30

   Bu adımı detaylandır